一个例子:
n<n+1;
;
;
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[tex]$n<n+1;$[/tex]
[tex]$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{n};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1};$[/tex]
[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}<3;$[/tex]
问题: 在有理数的集合里面,当[tex]n$\rightarrow\infty,$[/tex]那么[tex]$(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex]意味着什么?
设[tex]$x_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$[/tex], 并假设[tex]$x_{\infty}=\frac{p}{q}$[/tex],
那么我们可以说[tex]$x_{1}<x_{2}<...<x_{n}<...x_{\infty}<3$[/tex]在自然数的含义上是表达了一个顺序的完备性.
但是, [tex]$x_{\infty}\neq\frac{p}{q}$[/tex]
[tex]$$x_{n}=1^{n}+...+\frac{1}{n^{n}}[/tex]
[tex]=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n}...$$[/tex]
因此,自然数里面做这些计算,都会导致顺序不完备:即我们严格运用自然数以及相关运算,都可以构造出一个明确的顺序数列,该数列里面存在一个数值明确的元素,不是有理数.
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