数列的极限

数数是人类最原始的数学活动，或者说，对于数数，我们暂时没有更多的数学方面的分析可言了；或者说，至少从通常数学的角度而言，数数是一个足够清楚而明确的行为。因此我们引入极限这么一个抽象概念就从数数开始。

设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时，每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜做这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：，即把每一个元素加上一个唯一的自然数标记，或者简单地记成。

显然，可以想象，随着我们的数数，这个数列的取值，就会发生某种变化，（当然，对于总是取同一个数值的数列，我们没有什么兴趣。）这种变化的过程应该说是相当明确而没有任何含糊与抽象的地方。

然后，我们来规定一种具有特定规律的数列变化过程：

对于数列，假设存在一个确定的常数a，现在我们考虑变量（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素，使得在这个元素后面的所有的数列元素，都有相应的变量的数值小于，换一句话来说，就是，对于任意的，总是存在一个N，使得当n>N时，总是有

成立，这时我们就把a称为数列的极限。并且称数列收敛于极限a。我们使用记号来表示这点。

否则我们就说数列是发散的_。

这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。

在这个定义里面，关键的地方是：

1。数值是任意的。

实际上也就是说，只要存在一个的数值不满足定义的条件，就不能说数列收敛于极限a。

那么，我们是不是一定要对所有可能的都进行检验，才能得到最后的判断呢？在实际问题当中，由于我们的目的是希望知道变量是否越来越小，因此一般总是只要取大于0，并且足够小（以后我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，记住这点并非是必要的，而是方便的），当然只是这样还不能减少我们对的任意取值进行验证的任务，关键在于，我们一般所处理的数列，总是按照某种特定的规律来变化，或者说，是按照某种特定的规律来定义的，这样一般从这个数列的变化规律本身，就可以足够使得我们进行判断，并且还有可能找到一个特定的由决定的N的值，使得条件得到满足，或者是可以找到反例。

实际上，我们最困难的地方就是如何判断一个数列是否存在极限，如果存在的话，又如何得到这个极限。这里最重要的方法是应用不等式。

2． 满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。

初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N的n值进行检验，同样由于我们所考虑的数列的变化是具有规律的，从生成数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。

那么究竟所谓生成数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。这个函数的表达式称为通项的通项公式。

不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，而是同时由变量n和第n项之前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式。

对于上面的第二点，如果我们把希望得到的结论放弱一点，就还可以有第二种更为方便的说法，这就是柯西收敛原理：

我们说数列收敛，它的充要条件是：对于任意的>0，总是存在正整数N，使得对于任意的自然数p和n>0，有

成立。

可以看到，在这里对数列所进行的检验与极限的定义当中对数列所进行的检验是存在一点差异的，就是在这里对数列进行检验，我们并不需要知道这个数列的极限究竟是多少，而通过检验，我们也只是知道这个极限是否存在极限。而在极限的定义当中，要对一个数列进行检验，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否这个给出的极限值。

因此，在实际问题当中，应用柯西原理是更为方便的检验方法。

在说明了一个数列的极限的含义以后，我们就可以得到一系列的这种极限过程的性质如下：

（1）数列以a为极限的另一个说法，或者说它的一个充要条件是：对于数列的任意一个子数列都以a为极限。

这种说法一般并不是应用于正面的结论，因为这就意味着我们要取一个数列的任意子数列来进行验证，这反而把事情搞复杂了，但一般说来更难以说明正面结论的判据，往往更易于说明反面结论，这也就是说，我们常常可以很方便地应用这个判据来说明某个数列是发散的，因为，我们只要能够在一个数列里，构造出一个发散的子数列，或者是构造出两个具有不同收敛极限的子数列，就可以说明这个数列是发散的。

（2）如果两个不同数列具有相同的极限：_，而另外一个数列满足条件：存在一个确定的自然数N，当n>N时，总是有

成立，那么数列收敛，并且极限为c。

这个性质被称为夹逼定理，常常用来求某个合适的数列的极限，前提是已知另外两个数列的极限，并且这三个数列具有定理所要求的关系。

（3）如果我们把数列看成是以自然数为自变量的函数，那么就可以相应地定义这个函数的有界性和单调性，这两个概念是相当直观的，并且显然可以知道一个收敛数列必然是有界的，因为按照收敛的定义，满足

的项总是有限的，因此总能够得到一个确定的函数的界。

反过来，则还必须加上一个条件：

单调而且有界的数列必定存在极限。

这是一个相当重要的极限存在定理，因为往往判定一个数列的单调性和有界性是比较容易的。

从这个定理可以得到一个条件比性质（1）更弱，但结论一样的极限存在定理：

（4）如果数列的子数列和都收敛于同一个极限，那么数列也收敛于这个极限。

显然这个定理比性质（1）所需要的条件更弱，但结论是一样的，这是因为我们选取了特定的子数列。

（5）如果一个数列是由两个收敛数列通过四则运算得到的，那么这个数列的收敛性质就完全由这两个数列决定，这就是数列极限的四则运算性质：

a．，其中k为实数；

b．；

c．；

d．，其中。

最为主要的一种事物运动变化的方式，是一种给人以连续性的感觉的变化。对于这样的变化方式，我们可以有两种研究方式，一是属于物理学范畴的研究方式，就是说去探讨事物变化发展中表现出来的连续性，究竟是一个什么样的过程。另一种研究方式是并不考虑所谓连续性究竟是什么回事，而是首先人为地定义一种明确的可以定量处理的连续性，使得我们对于一般事物变化发展的描述都具有这种连续性的特点，并且总是在这种应用当中，随时对实际过程与理论推理进行验证与对比，从而得到使用这种人为连续性的观念的合理性，一直到实验表明再也不能使用这个人为前提为止。

确实，我们应该学会承认，当我们对客观事物进行描述与分析时，肯定是要基于一些前提条件或者说假设的，问题的关键，不是在于我们是不是应该首先证明了这些前提的正确性，才能再来进行随后的工作，而是承认任何的理论工作都只是相对的，是否有用必须经过实验的证明才能决定。

现在我们的主要工作就是建立一个关于日常生活的连续性的严格表述。而这个概念是可以从我们进行最为简单的数数开始的。